ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเซต

  

เซต (sets)

 

เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ

หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก

สมาชิกในกลุ่มว่า “สมาชิกของเซต”                                                                   

 

 

การเขียนเซต 

การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2 แบบ

 

  1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต

ตัวอย่างเช่น

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = { a, e, i, o, u}

C = {…,-2,-1,0,1,2,…}

  1. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต

ตัวอย่างเช่น

A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}

B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}

C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

 

 

 

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้

 

I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ               Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ

I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก            Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก

I แทนเซตของจำนวนเต็ม                     Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ

N แทนเซตของจำนวนนับ                    R แทนเซตของจำนวนจริง

 

เซตจำกัด

บทนิยาม เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้

 

ตัวอย่างเช่น

A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก

B = { a, e, i, o, u} มีสมาชิก 5 สมาชิก

 

เซตอนันต์

 

เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

 

ตัวอย่างเช่่น

 

C = {…,-2,-1,0,1,2,…}

 

 

เซตที่เท่ากัน

 

เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B

และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B

 

ตัวอย่างเช่่น

 

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}

∴ A = B

เซตว่าง

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

 

ตัวอย่างเช่่น

 

A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2} ∴ A = Ø

B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } ∴ ฺB = Ø

เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด

 

 

เอกภพสัมพัทธ์

 

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u

 

ตัวอย่างเช่่น    ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม

U = {…,-2,-1,0,1,2,…}

หรือ U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถเขียนแทนจำนวนสมาชิกของเซต A ด้วย n(A)

  • ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว

 

 

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)

n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B)

 

 

  • ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว

 

n(A ∪ B ∪ C ) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C)

 

 

ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้

 

เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า “แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์” (Venn-Euler Diagram)

 

สับเซต

 

บทนิยาม    เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก

ของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂ B

 

ตัวอย่างที่ 1

A = {1, 2, 3}

B = { 1, 2, 3, 4, 5}

∴ A ⊂ B

 

 

ตัวอย่างที่ 2

 

C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,…}

D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {…,-3,-1,1,3,…}

∴ C D

 

 

ตัวอย่างที่ 3

 

E = { 0,1,2 }

F = { 2,1,0 }

∴ E ⊂  F และ F ⊂  E

 

จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂  F และ F ⊂ E แล้ว E = F

สับเซตแท้ เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂  B และ A ≠ B

จำนวนสับเซต ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n – 1 เซต

 

 

 

เพาเวอร์เซต

 

บทนิยาม    เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมด

ของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A)

 

ตัวอย่างที่ 1

A = Ø

สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø

∴ P(A) = {Ø }

 

ตัวอย่างที่ 2

B = {1}

สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1}

∴ P(B) = {Ø, {1} }

 

ตัวอย่างที่ 3

C = {1,2}

สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2}

∴ P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} }

 

ยูเนียน (Union)

บทนิยาม    เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B

 

ตัวอย่างเช่น

A ={1,2,3}

B= {3,4,5}

∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}

 

 

 

อินเตอร์เซกชัน (Intersection)

บทนิยาม       เซต A  อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B

 

ตัวอย่างเช่น

A ={1,2,3}

B= {3,4,5}

∴ A ∩ B = {3}

 

 

 

คอมพลีเมนต์ (Complements)

 

บทนิยาม     ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U

แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’

 

ตัวอย่างเช่น

 

U = {1,2,3,4,5}

A ={1,2,3}

∴ A’ = {4,5}

 

 

ผลต่าง (Difference)

 

บทนิยาม       ถ้าเซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิก

ของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A – B

 

ตัวอย่างเช่น

 

A ={1,2,3}

B= {3,4,5}

∴ A – B = {1,2}

 

ใส่ความเห็น

อีเมลของคุณจะไม่แสดงให้คนอื่นเห็น ช่องข้อมูลจำเป็นถูกทำเครื่องหมาย *