ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเซต
เซต (sets)
เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก สมาชิกในกลุ่มว่า “สมาชิกของเซต” |
การเขียนเซต
การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2 แบบ
- แบบแจกแจงสมาชิกของเซต
ตัวอย่างเช่น
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = { a, e, i, o, u}
C = {…,-2,-1,0,1,2,…}
- แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
ตัวอย่างเช่น
A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}
C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}
สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้
I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ
I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก
I แทนเซตของจำนวนเต็ม Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
N แทนเซตของจำนวนนับ R แทนเซตของจำนวนจริง
เซตจำกัด
บทนิยาม เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้
ตัวอย่างเช่น
A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก
B = { a, e, i, o, u} มีสมาชิก 5 สมาชิก
เซตอนันต์
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน
ตัวอย่างเช่่น
C = {…,-2,-1,0,1,2,…}
เซตที่เท่ากัน
เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B
และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B
ตัวอย่างเช่่น
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
∴ A = B
เซตว่าง
เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø
ตัวอย่างเช่่น
A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2} ∴ A = Ø
B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } ∴ ฺB = Ø
เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด
เอกภพสัมพัทธ์
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u
ตัวอย่างเช่่น ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม
U = {…,-2,-1,0,1,2,…}
หรือ U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}
ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถเขียนแทนจำนวนสมาชิกของเซต A ด้วย n(A)
- ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B)
- ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว
n(A ∪ B ∪ C ) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C)
ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้
เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า “แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์” (Venn-Euler Diagram)
สับเซต
บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก
ของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂ B
ตัวอย่างที่ 1
A = {1, 2, 3}
B = { 1, 2, 3, 4, 5}
∴ A ⊂ B
ตัวอย่างที่ 2
C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,…}
D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {…,-3,-1,1,3,…}
∴ C D
ตัวอย่างที่ 3
E = { 0,1,2 }
F = { 2,1,0 }
∴ E ⊂ F และ F ⊂ E
จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂ F และ F ⊂ E แล้ว E = F
สับเซตแท้ เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B
จำนวนสับเซต ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n – 1 เซต
เพาเวอร์เซต
บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมด
ของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A)
ตัวอย่างที่ 1
A = Ø
สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø
∴ P(A) = {Ø }
ตัวอย่างที่ 2
B = {1}
สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1}
∴ P(B) = {Ø, {1} }
ตัวอย่างที่ 3
C = {1,2}
สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2}
∴ P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} }
ยูเนียน (Union)
บทนิยาม เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B
ตัวอย่างเช่น
A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}
อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
บทนิยาม เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B
ตัวอย่างเช่น
A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴ A ∩ B = {3}
คอมพลีเมนต์ (Complements)
บทนิยาม ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U
แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’
ตัวอย่างเช่น
U = {1,2,3,4,5}
A ={1,2,3}
∴ A’ = {4,5}
ผลต่าง (Difference)
บทนิยาม ถ้าเซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิก
ของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A – B
ตัวอย่างเช่น
A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴ A – B = {1,2}